一道让我震惊的积分化简题 $I=\int\sqrt{4-x^2}\ \mathrm{d}x$

好久没有写过除了每日日志外的博客了，这可不行，一年小一两百的域名服务器博客开支，不能浪费了。

今天就来写个数学，正好把我远古时期做的 Katex 插件 拿来用用。

就是下面这道题，化简一下。积分化简题自己做过一些，不过平常自己不愿意做这类，因为实在是太绕了，就像下面这个，谁能知道，这道题我居然化简了 $\frac{1}{2}$ 面的 A4 纸。实在是太轻敌了。

这种题在积分化简题里是很普通，之所以这文章写它是因为，这道题的题目如此简单，一个根号，两个字符.....

$$I=\int{\sqrt{4-x^2}\ \mathrm{d}x} \tag{原题} $$

首先，这没法直接解，要先三角换元法。这个碰运气，根据直觉，这个这样换元。

$$设 \quad x = 2 \sin{t}$$

把 $ 2 \sin{t}$ 放进去原题，大概可把那个根号给消掉。

那么此刻，$\mathrm{d}x$ 也会改变。

$$\mathrm{d}x = \mathrm{d} (2 \sin{t}) = 2 \cos{t}\mathrm{d}t$$

那么有了上面两个，现在可以代入了。然后一步步化简。

$$I = \int \sqrt{4 - (2 \sin{t})^2} \cdot 2 \cos{t} \mathrm{d}t $$

$$ \int \sqrt{4 - 4 \sin^2{t}} \cdot 2 \cos{t} \mathrm{d}t $$

$$\int \sqrt{4(1 - \sin^2{t})} \cdot 2 \cos{t} \mathrm{d}t $$

$$ \int \sqrt{4\cos^2{t}} \cdot 2 \cos{t} \mathrm{d}t $$

$$ \int 2 \cos{t} \cdot 2 \cos{t} \mathrm{d}t $$

$$ \int 4 \cos^2{t} \mathrm{d}t $$

是不是很漂亮，淦掉了一大堆东西。很爽快！把 4 提出来，继续淦。

$$ 4 \int \frac{1 + \cos{2t} }{2} \mathrm{d}t $$

$$ \int 2 ( 1 + \cos{2t} ) \mathrm{d}t $$

$$ \int{2} \ \mathrm{d}t + \int{2 \cos{2t}} \mathrm{d}t $$

关键的步骤到了。为了确保能提出来，特地挂上导括号。

$$ \int{(2t)'} \ \mathrm{d}t + \int{ (\sin{2t})' } \mathrm{d}t $$

$$ 2t + \sin{2t} + C $$

好不容易提出来了，别忘了 $x = 2 \sin{t}$ 。先进行下换算。

$$ x = 2 \sin{t} $$

$$ t = \arcsin{ \frac{x}{2} } $$

$$ 2 t = 2 \arcsin{ \frac{x}{2} } \tag{步骤 A} $$

所以， $2t$ 就算出来了。那么 $\sin{2t}$ :

$$\sin{2t}$$

$$ 2 \sin{t} \cos{t} $$

$$ x \cdot \sqrt{1 - \sin^2{t} } $$

$$ x \cdot \sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2 } $$

$$ x \cdot \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} \tag{步骤 B}$$

把 步骤 A 和 步骤 B 一合并，就是最终结果了。

$$ I = 2 \arcsin{ \frac{x}{2} } + x \cdot \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} + C $$

不过，这玩意有什么用呢？......